二次函数是初中数学的压轴内容，也是高中数学的起点。很多孩子初中时二次函数学得马马虎虎，到了高中发现二次函数无处不在——求函数值域要用二次函数、解不等式要用二次函数、数列递推要用二次函数。如果二次函数没学好，高中数学几乎步步受阻。
二次函数和方程的关系，是衔接初高中的核心。具体来说，需要理清三个关系。
其一，函数图像和方程的根的关系。二次函数 y=ax²+bx+c 的图像与 x 轴的交点，就是方程 ax²+bx+c=0 的根。判别式 Δ=b²-4ac 大于零时有两个交点，等于零时有一个交点（相切），小于零时没有交点。这个关系初中就学了，但很多孩子到高中还在模糊，看到函数图像与 x 轴有两个交点反应不过来就是方程有两个不等实根。
第二，不等式和函数图像的关系。二次不等式 ax²+bx+c>0 的解集，对应函数图像在 x 轴上方的部分。这个关系在初中只是简单提及，但高中几乎每章都要用到。孩子要养成看到不等式就画图像的习惯。
第三，参数讨论和分类讨论的关系。含参数的二次函数问题，需要根据参数的不同取值讨论函数图像的形状、位置和交点数。这是高中数学里最常见的题型之一，但很多孩子缺乏分类讨论的意识，一看到参数就发懵。
怎么理清这三个关系？
其一，把二次函数的三种形式（一般式、顶点式、交点式）反复练习。每种形式都有自己的适用场景：一般式适合求判别式和对称轴，顶点式适合求最值和对称轴，交点式适合画图像和求根。孩子要能根据题目条件快速选择合适的形式。
第二，画图像。每次做二次函数题，先画图像。哪怕画得不精确，只要大致位置对了，解题方向就不会偏。
第三，做含参数的二次函数专题训练。参数讨论是高中的重点，初中阶段可以做 10~15 道含参数的二次函数题，提前熟悉这种题型。
第四，把二次函数和一元二次方程、二次不等式的关系做一个知识网络图。孩子能把这三者的关系画出来，说明理解到位了。
初高中衔接的关键就是把初中已经学过但没学透的知识重新理清，二次函数是最典型的例子。
初高中衔接数学中二次函数和方程的关系是核心难点。初中阶段孩子学的是具体的二次函数（y=ax²+bx+c），到了高中要在更抽象的层面上理解二次函数——它是描述变量关系的重要工具，与方程、不等式、几何都有联系。理清两者关系的方法是：其一，从图像入手——把二次函数的图像（抛物线）画出来，标清楚开口方向、对称轴、顶点、与 x 轴的交点；第二，从方程角度理解——二次函数的零点就是对应二次方程的根，所以求函数的零点就是解二次方程；第三，从不等式角度延伸——二次函数大于 0 的 x 的范围就是对应二次不等式的解集；第四，做 10~15 道综合题——把二次函数、方程、不等式三者结合的题目做一遍，感受它们之间的联系；第五，建立知识框架——画一张图把「二次函数」放在中心，「一元二次方程」和「一元二次不等式」放在两侧，用箭头表示它们之间的相互转化关系。这一步做好了，到高中学习函数和导数时会顺利很多。
